進(jìn)制轉(zhuǎn)換,在高速發(fā)展的現(xiàn)代社會(huì),計(jì)算機(jī)浩浩蕩蕩地成為了人們生活中不可缺少的一部分,幫助人們解決通信,聯(lián)絡(luò),互動(dòng)等各方面的問題。今天我就給大家講講與計(jì)算機(jī)甚至日常生活有密切相關(guān)的“進(jìn)制轉(zhuǎn)換”問題。

正數(shù)進(jìn)制轉(zhuǎn)換算法:
我們以(25.625)(十)為例講解一下進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化問題。
十進(jìn)制--->二進(jìn)制
對(duì)于整數(shù)部分,用被除數(shù)反復(fù)除以2,除第一次外,每次除以2均取前一次商的整數(shù)部分作被除數(shù)并依次記下每次的余數(shù)。另外,所得到的商的最后一位余數(shù)是所求二進(jìn)制數(shù)的最高位。

十進(jìn)制轉(zhuǎn),N進(jìn)制。
對(duì)于小數(shù)部分,采用連續(xù)乘以基數(shù)2,并依次取出的整數(shù)部分,直至結(jié)果的小數(shù)部分為0為止。故該法稱“乘基取整法”。
給你一個(gè)十進(jìn)制,比如:6,如果將它轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)呢?
10進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù),這是一個(gè)連續(xù)除以2的過程:
把要轉(zhuǎn)換的數(shù),除以2,得到商和余數(shù),
將商繼續(xù)除以2,直到商為0。最后將所有余數(shù)倒序排列,得到數(shù)就是轉(zhuǎn)換結(jié)果。
聽起來有些糊涂?結(jié)合例子來說明。比如要轉(zhuǎn)換6為二進(jìn)制數(shù)。
“把要轉(zhuǎn)換的數(shù),除以2,得到商和余數(shù)”。
那么:

十轉(zhuǎn)二示意圖
要轉(zhuǎn)換的數(shù)是6, 6 ÷ 2,得到商是3,余數(shù)是0。
“將商繼續(xù)除以2,直到商為0……”
現(xiàn)在商是3,還不是0,所以繼續(xù)除以2。
那就: 3 ÷ 2, 得到商是1,余數(shù)是1。
“將商繼續(xù)除以2,直到商為0……”
現(xiàn)在商是1,還不是0,所以繼續(xù)除以2。
那就: 1 ÷ 2, 得到商是0,余數(shù)是1
“將商繼續(xù)除以2,直到商為0……最后將所有余數(shù)倒序排列”
好極!現(xiàn)在商已經(jīng)是0。
我們?nèi)�次�?jì)算依次得到余數(shù)分別是:0、1、1,將所有余數(shù)倒序排列,那就是:110了!
6轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制,結(jié)果是110。
把上面的一段改成用表格來表示,則為:

(在計(jì)算機(jī)中,÷用 / 來表示)
二進(jìn)制--->十進(jìn)制
二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)
二進(jìn)制數(shù)第0位的權(quán)值是2的0次方,第1位的權(quán)值是2的1次方……
所以,設(shè)有一個(gè)二進(jìn)制數(shù):0110 0100,轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制為:
下面是豎式:
0110 0100 換算成十進(jìn)制
第0位 0 * 20 = 0
第1位 0 * 21 = 0
第2位 1 * 22 = 4
第3位 0 * 23 = 0
第4位 0 * 24 = 0
第5位 1 * 25 = 32
第6位 1 * 26 = 64
第7位 0 * 27 = 0
公式:第N位2(N)
---------------------------
100
用橫式計(jì)算為:
0 * 20 + 0 * 21 + 1 * 22 + 0 * 23 + 0 * 24 + 1 * 25 + 1* 26 + 0 * 27 = 100
0乘以多少都是0,所以我們也可以直接跳過值為0的位:
1 * 22 + 1 * 25 +1*26 = 100
十進(jìn)制--->八進(jìn)制
10進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成8進(jìn)制的方法,和轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制的方法類似,唯一變化:除數(shù)由2變成8。
來看一個(gè)例子,如何將十進(jìn)制數(shù)120轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。
用表格表示:
被除數(shù)計(jì)算過程商余數(shù)
120 120/815 0
15 15/8 1 7
1 1/80 1
120轉(zhuǎn)換為8進(jìn)制,結(jié)果為:170。
八進(jìn)制--->十進(jìn)制
八進(jìn)制就是逢8進(jìn)1。
八進(jìn)制數(shù)采用 0～7這八數(shù)來表達(dá)一個(gè)數(shù)。
八進(jìn)制數(shù)第0位的權(quán)值為8的0次方,第1位權(quán)值為8的1次方,第2位權(quán)值為8的2次方……
所以,設(shè)有一個(gè)八進(jìn)制數(shù):1507,轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制為:
用豎式表示:
1507換算成十進(jìn)制。
第0位 7 * 80 = 7
第1位 0 * 81 = 0
第2位 5 * 82 = 320
第3位 1 * 83 = 512
--------------------------
839
同樣,我們也可以用橫式直接計(jì)算:
7 * 80 + 0 * 81 + 5 * 82 + 1 * 83 = 839
結(jié)果是,八進(jìn)制數(shù) 1507 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為 839
十進(jìn)制--->十六進(jìn)制
10進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制的方法,和轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制的方法類似,唯一變化:除數(shù)由2變成16。
同樣是120,轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制則為:

被除數(shù)計(jì)算過程商余數(shù)
120 120/16 7 8
7 7/16 0 7

120轉(zhuǎn)換為16進(jìn)制,結(jié)果為:78。
十六進(jìn)制--->十進(jìn)制
16進(jìn)制就是逢16進(jìn)1,但我們只有0~9這十個(gè)數(shù)字,所以我們用A,B,C,D,E,F這六個(gè)字母來分別表示10,11,12,13,14,15。字母不區(qū)分大小寫。
十六進(jìn)制數(shù)的第0位的權(quán)值為16的0次方,第1位的權(quán)值為16的1次方,第2位的權(quán)值為16的2次方……
所以,在第N(N從0開始)位上,如果是是數(shù) X (X 大于等于0,并且X小于等于 15,即:F)表示的大小為 X * 16的N次方。
假設(shè)有一個(gè)十六進(jìn)數(shù) 2AF5, 那么如何換算成10進(jìn)制呢?
用豎式計(jì)算:
2AF5換算成10進(jìn)制:
第0位: 5 * 160 = 5
第1位: F * 161 = 240
第2位: A * 162 = 2560
第3位: 2 * 163 = 8192
-------------------------------------
10997
直接計(jì)算就是:
5 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163 = 10997
(別忘了,在上面的計(jì)算中,A表示10,而F表示15)
現(xiàn)在可以看出,所有進(jìn)制換算成10進(jìn)制,關(guān)鍵在于各自的權(quán)值不同。
假設(shè)有人問你,十進(jìn)數(shù) 1234 為什么是 一千二百三十四?你盡可以給他這么一個(gè)算式:
1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100
二進(jìn)制--->八進(jìn)制
(11001.101)(二)
整數(shù)部分:[1]從后往前每三位一組,缺位處用0填補(bǔ),然后按十進(jìn)制方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化, 則有:
001=1
011=3
然后我們將結(jié)果按從下往上的順序書寫就是:31,那么這個(gè)31就是二進(jìn)制11001的八進(jìn)制形式
小數(shù)部分: 從前往后每三位一組,缺位處用0填補(bǔ),然后按十進(jìn)制方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化, 則有:
101=5
然后我們將結(jié)果部分按從上往下的順序書寫就是:5,那么這個(gè)5就是二進(jìn)制0.101的八進(jìn)制形式
所以:(11001.101)2=(31.5)8
八進(jìn)制--->二進(jìn)制
(31.5)(八)
整數(shù)部分:從后往前每一位按十進(jìn)制轉(zhuǎn)化方式轉(zhuǎn)化為三位二進(jìn)制數(shù),缺位處用0補(bǔ)充 則有:
1---->1---->001
3---->11
然后我們將結(jié)果按從下往上的順序書寫就是:11001,那么這個(gè)11001就是八進(jìn)制31的二進(jìn)制形式
說明,關(guān)于十進(jìn)制的轉(zhuǎn)化方式我這里就不再說了,上一篇文章我已經(jīng)講解了!
小數(shù)部分:從前往后每一位按十進(jìn)制轉(zhuǎn)化方式轉(zhuǎn)化為三位二進(jìn)制數(shù),缺位處用0補(bǔ)充 則有:
5---->101
然后我們將結(jié)果按從下往上的順序書寫就是:101,那么這個(gè)101就是八進(jìn)制5的二進(jìn)制形式
所以:(31.5)8=(11001.101)2
十六進(jìn)制<--->二進(jìn)制
二進(jìn)制和十六進(jìn)制的互相轉(zhuǎn)換比較重要。不過這二者的轉(zhuǎn)換卻不用計(jì)算,每個(gè)C,C++程序員都能做到看見二進(jìn)制數(shù),直接就能轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù),反之亦然。
我們也一樣,只要學(xué)完這一小節(jié),就能做到。
首先我們來看一個(gè)二進(jìn)制數(shù):1111,它是多少呢?
你可能還要這樣計(jì)算:1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。
然而,由于1111才4位,所以我們必須直接記住它每一位的權(quán)值,并且是從高位往低位記,:8、4、2、1。即,最高位的權(quán)值為23 = 8,然后依次是 22 = 4,21=2, 20 = 1。
記住8421,對(duì)于任意一個(gè)4位的二進(jìn)制數(shù),我們都可以很快算出它對(duì)應(yīng)的10進(jìn)制值。
下面列出四位二進(jìn)制數(shù)xxxx 所有可能的值(中間略過部分)

僅四位的二進(jìn)制數(shù)快速計(jì)算方法十進(jìn)制值十六進(jìn)制值
1111 8+4+2+1 15 F
11108+4+2+014E
11018+4+0+113D
11008+4+0+012C
10118+0+2+111B
10108+0+2+010A
10018+0+0+19 9
……
0001 0+0+0+11 1
00000+0+0+0 0 0
二進(jìn)制數(shù)要轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制,就是以4位一段,分別轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制。
如:
二進(jìn)制數(shù)1111 11011010 01011001 1011
對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)FDA59B
反過來,當(dāng)我們看到 FD時(shí),如何迅速將它轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)呢?
先轉(zhuǎn)換F:
看到F,我們需知道它是15(可能你還不熟悉A～F這五個(gè)數(shù)),然后15如何用8421湊呢?應(yīng)該是8 + 4 + 2 + 1,所以四位全為1 :1111。
接著轉(zhuǎn)換 D:
看到D,知道它是13,13如何用8421湊呢?應(yīng)該是:8 + 4 + 1,即:1101。
所以,FD轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù),為: 1111 1101
由于十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制相當(dāng)直接,所以,我們需要將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成2進(jìn)制數(shù)時(shí),也可以先轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制,然后再轉(zhuǎn)換成2進(jìn)制。
比如,十進(jìn)制數(shù) 1234轉(zhuǎn)換成二制數(shù),如果要一直除以2,直接得到2進(jìn)制數(shù),需要計(jì)算較多次數(shù)。所以我們可以先除以16,得到16進(jìn)制數(shù):
被除數(shù)計(jì)算過程商余數(shù)
1234 1234/16 77 2
77 77/16 413(D)
4 4/16 0 4
結(jié)果16進(jìn)制為: 0x4D2
然后我們可直接寫出0x4D2的二進(jìn)制形式: 0100 1101 0010。
其中對(duì)映關(guān)系為:
0100 -- 4
1101 -- D
0010 -- 2
同樣,如果一個(gè)二進(jìn)制數(shù)很長(zhǎng),我們需要將它轉(zhuǎn)換成10進(jìn)制數(shù)時(shí),除了前面學(xué)過的方法是,我們還可以先將這個(gè)二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制,然后再轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制。
下面舉例一個(gè)int類型的二進(jìn)制數(shù):
01101101 11100101 10101111 00011011
我們按四位一組轉(zhuǎn)換為16進(jìn)制: 6D E5 AF 1B
再轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制:6*167+D*166+E*165+5*164+A*163+F*162+1*161+B*160=1,843,769,115